Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Планирование потребности, прогнозирование спроса, расчет заказа, анализ товарного запаса для всех этих каждодневных операций требуется знание математики, статистики и многого другого...
ВладимирМ
Пользователь
Пользователь
Сообщений: 21
Зарегистрирован: 10 апр 2017 10:09
Имя: Владимир
Фамилия: Морозов
Должность: руководитель

Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение ВладимирМ » 14 апр 2017 19:08

Добрый день! Очень рад, что есть такой высокопрофессиональный ресурс. Начал читать, думаю, что много смогу извлечь для себя полезного.

Пытаюсь составить и запрограммировать мат.модель прогноза продаж в запчастях. С высокооборачиваемыми позициями вроде все ясно, та часть модели работает пока, кажется, вполне удовлетворительно.

Проблема с редкопродаваемыми позициями. У некоторых из них тоже есть своя сезонность. Как я собираюсь ее определять:

1. Из данных о продажах, при условии, что они есть за 2 года минимум, вычислить вероятность продажи позиции по месяцам. Для некоторой позиции у меня, к примеру, получилось

Месяц | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
-----------------------+--------+-------+--------+-------+--------+-------+--------+-------+--------+--------+--------+---------+
Вероятность | 0,25 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0,125 | 0,25 | 0,375 |

2. Вычислить матожидание (месяц, когда вероятность продать максимальная) и среднеквадратическое отклонение (в какие вообще месяцы до и после реально продать).

Далее, начиная с месяца "матожидание - ср.квадр.отклонение" и по месяц "матожидание + ср.квадр.отклонение" планирую иметь в наличии и пополнять до 1 шт(комплекта) эту позицию. В остальные месяцы - не пополнять.
Если среднеквадратическое отклонение больше 3-х месяцев, то товар можно считать не сезонным и пополнять всегда до 1 шт(комплекта).

Затык случился со п.2. Как вычислить матожидание? Если вычисляю как сумму произведений вероятности на номер месяца, то матожидание получается 8.75, т.е. попадает на август месяц. В это время не может быть никаких максимальных продаж.

В математике не силен. Буду благодарен за помощь.

Реклама
Аватар пользователя
market-1
Гуру
Гуру
Сообщений: 765
Зарегистрирован: 02 май 2010 09:37
Имя: Илья
Фамилия: Константинов
Должность: Директор по маркетингу
Откуда: Москва

Re: Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение market-1 » 15 апр 2017 16:09

В вашей задаче недостаточно данных. Например, ваши данные говорят о том, что товар продавался с октября по январь. Значит ли это, что он рассчитан на зимний спрос (например, зимняя резина или зимние стеклоочистители) или это случайное совпадение?

Если это именно зимний товар, тогда можно говорить о сезонности. Если же товар не зимний и просто продается не каждый месяц, то о сезонности вообще говорить не имеет смысла. В этом случае для обеспечения товарного запаса нужно анализировать размер средней покупки без учета сезонности.

ВладимирМ
Пользователь
Пользователь
Сообщений: 21
Зарегистрирован: 10 апр 2017 10:09
Имя: Владимир
Фамилия: Морозов
Должность: руководитель

Re: Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение ВладимирМ » 15 апр 2017 17:18

Нашел ошибку в вычислении матожидания. Надо было Январь считать как 13-й месяц, чтобы функция плотности распределения вероятности была непрерывной.

Да, это именно сезонный (зимний) товар. Но хотелось бы этот же подход использовать для определения сезонности/несезонности других позиций. Возможно ли? Какие еще есть подходы?

ВладимирМ
Пользователь
Пользователь
Сообщений: 21
Зарегистрирован: 10 апр 2017 10:09
Имя: Владимир
Фамилия: Морозов
Должность: руководитель

Re: Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение ВладимирМ » 16 апр 2017 17:21

Вообще я хочу найти способ автоматически определять сезонность исходя из статистики пусть даже редких продаж.

Аватар пользователя
market-1
Гуру
Гуру
Сообщений: 765
Зарегистрирован: 02 май 2010 09:37
Имя: Илья
Фамилия: Константинов
Должность: Директор по маркетингу
Откуда: Москва

Re: Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение market-1 » 16 апр 2017 17:53

ВладимирМ писал(а):Вообще я хочу найти способ автоматически определять сезонность исходя из статистики пусть даже редких продаж.

Сначала определите, что такое "редкие продажи". Если это одна продажа в месяц и реже, то там ни о какой сезонности речи быть не может.

ВладимирМ
Пользователь
Пользователь
Сообщений: 21
Зарегистрирован: 10 апр 2017 10:09
Имя: Владимир
Фамилия: Морозов
Должность: руководитель

Re: Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение ВладимирМ » 16 апр 2017 18:39

Вот для примера продажи:

1. Cезонный (зимний) товар (Месяц; Кол-во продаж; Вероятность):

1 ; 2 ; 0.2857142857142857
2 ; 0 ; 0
3 ; 0 ; 0
4 ; 0 ; 0
5 ; 0 ; 0
6 ; 0 ; 0
7 ; 0 ; 0
8 ; 0 ; 0
9 ; 0 ; 0
10 ; 1 ; 0.14285714285714285
11 ; 2 ; 0.2857142857142857
12 ; 2 ; 0.2857142857142857

Матожидание = 11.714285714285714
Дисперсия = 1.0612244897959184
Ср.квадр.отклонение (сигма) = 1.0301575072754257


2. Не сезонный товар (Месяц; Кол-во продаж; Вероятность):

1 ; 0 ; 0
2 ; 1 ; 0.16666666666666666
3 ; 0 ; 0
4 ; 0 ; 0
5 ; 1 ; 0.16666666666666666
6 ; 0 ; 0
7 ; 1 ; 0.16666666666666666
8 ; 1 ; 0.16666666666666666
9 ; 0 ; 0
10 ; 1 ; 0.16666666666666666
11 ; 0 ; 0
12 ; 1 ; 0.16666666666666666

Матожидание = 7.333333333333332
Дисперсия = 10.555555555555555
Ср.квадр.отклонение (сигма) = 3.2489314482696545


В первом случае максимум продаж ожидается в декабре с разбросом (2 * сигма) два месяца, во втором максимум продаж в июле с разбросом в полгода. Мне кажется, по величине ср.квадр.отклонения можно понять, является ли товар сезонным или нет.

ВладимирМ
Пользователь
Пользователь
Сообщений: 21
Зарегистрирован: 10 апр 2017 10:09
Имя: Владимир
Фамилия: Морозов
Должность: руководитель

Re: Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение ВладимирМ » 16 апр 2017 18:57

market-1 писал(а):Сначала определите, что такое "редкие продажи". Если это одна продажа в месяц и реже, то там ни о какой сезонности речи быть не может.

Для себя я принял, что редкие продажи - это когда товар продается настолько редко, что методы построения прогноза продаж, описанные здесь, кроме Виллеймейна, не работают. Получается какая-то фигня. С Виллеймейном я пока не разобрался.
На деле я просто обозначил некоторый порог продаж в год (у меня 24 единицы), выше которых я использую то, что я указал в ссылке, а ниже этого порога пытаюсь использовать подход с теорией вероятности.
Если продажи совсем редкие, типа 1 раз в год, то система для них автоматически обнуляет норму запаса и они в будущем не заказываются.

SAV
Профессионал
Профессионал
Сообщений: 363
Зарегистрирован: 14 июн 2011 18:56
Имя: Андрей
Фамилия: МММ
Должность: Менеджер

Re: Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение SAV » 17 апр 2017 11:05

Сезонность по отдельно взятой позиции не определяется.
Она определяется для группы товаров.
И считается исходя из продаж в рублях, а не штуках/метрах.

Причем после подсчета хорошо бы дать результат на проверку профессионалам.

Кстати, вы предварительно проверяете бездефицитность наличия товара на складах? А то может продаж не было не потому, что спроса не было, а потому что продавать было нечего?

ВладимирМ
Пользователь
Пользователь
Сообщений: 21
Зарегистрирован: 10 апр 2017 10:09
Имя: Владимир
Фамилия: Морозов
Должность: руководитель

Re: Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение ВладимирМ » 17 апр 2017 15:53

SAV писал(а):Сезонность по отдельно взятой позиции не определяется.
Она определяется для группы товаров.

Поясните, почему не определяется сезонность для отдельно взятых позиций. То, что для группы аналогов статистика в целом будет точнее, я согласен.

SAV писал(а):И считается исходя из продаж в рублях, а не штуках/метрах.

Почему не в штуках? Что мешает? В литературе, которую я смотрел, вполне себе используют единицы измерения количества. И прогноз для составления заказа мне тоже нужен в штуках.

SAV писал(а):Причем после подсчета хорошо бы дать результат на проверку профессионалам.

Хорошо бы. Только где его взять?

SAV писал(а):Кстати, вы предварительно проверяете бездефицитность наличия товара на складах? А то может продаж не было не потому, что спроса не было, а потому что продавать было нечего?

Во-первых, срок пополнения запаса у меня меньше недели, максимум 5 дней. Для редкопродаваемых позиций время, когда товар имеется в наличии, много больше, чем время отсутствия товара. Поэтому вероятность упущенной продажи из-за отстуствия товара здесь можно считать околонулевой. Во-вторых, для сезонного товара как раз и ставится целью не держать в наличии товар, который не продать в межсезонье.

Аватар пользователя
market-1
Гуру
Гуру
Сообщений: 765
Зарегистрирован: 02 май 2010 09:37
Имя: Илья
Фамилия: Константинов
Должность: Директор по маркетингу
Откуда: Москва

Re: Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение market-1 » 17 апр 2017 21:50

ВладимирМ писал(а):1. Cезонный (зимний) товар

1. Куда вы таскаете столько знаков после запятой? Это же всем вокруг говорит о вашей математической неграмотности, потому что принято оставлять последнюю значащую цифру.
2. Вы что-то не то считаете. Как матожидание может быть 12, если у вас ни в один месяц не продается больше 2 штук?
3. Зачем вам вообще матожидание (среднемесячные продажи по году), если вы считаете сезонность (доли продаж по месяцам)?
4. Сезонность по одному году в принципе считать некорректно. Вам нужно взять минимум три года и считать матожидание как средние продажи по месяцам. То есть берете продажи в январе за 2014-2016 годы. Например, они составили соответственно 1,2,3 штуки. Получили матожидание для января равное 2 с соответствующей дисперсией. И так же по остальным месяцам.

ВладимирМ писал(а):2. Не сезонный товар

Ну о какой сезонности можно вести речь при единичных продажах, почти равномерно распределенных по году? Делаете запас в 1 шт. на складе (или 2 шт., чтобы уж наверняка) и будет вам счастье.

ВладимирМ писал(а):во втором максимум продаж в июле с разбросом в полгода

Эта фраза говорит о том, что вы не совсем представляете себе, что вы рассчитываете. Как можно ожидать какие-то максимумы, если у вас все продажи равны 1??? И как можно при расчете сезонности говорить о каком-то разбросе в полгода?

В общем, рекомендую почитать про сезонность повнимательнее.

ВладимирМ
Пользователь
Пользователь
Сообщений: 21
Зарегистрирован: 10 апр 2017 10:09
Имя: Владимир
Фамилия: Морозов
Должность: руководитель

Re: Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение ВладимирМ » 18 апр 2017 16:28

market-1 писал(а):1. Куда вы таскаете столько знаков после запятой? Это же всем вокруг говорит о вашей математической неграмотности, потому что принято оставлять последнюю значащую цифру.

Ну я сразу сказал, что в математике не силен. Только замечу, что "последняя значащая цифра" не определяет именно количество значащих цифр. Ну да не суть. Скажите, какая вам нужна точность, сколько знаков после запятой вам оставить и я округлю. Это я просто скопировал, как у меня выдала программа. Не подумал, что из-за этого меня заподозрят уж совсем в вопиющей неграмотности.

market-1 писал(а):2. Вы что-то не то считаете. Как матожидание может быть 12, если у вас ни в один месяц не продается больше 2 штук?
3. Зачем вам вообще матожидание (среднемесячные продажи по году), если вы считаете сезонность (доли продаж по месяцам)?

Возьмем формулу матожидания для дискретных значений:
Изображение
Здесь под "x" можно понимать не только количество, но и любую другую величину, в том числе и время, номер месяца, например. Подразумевая под "x" месяц года, я ставлю перед собой цель выяснить, на какой месяц приходится максимум продаж. В этом контексте матожидание 12 означает, что максимум продаж приходится на декабрь месяц. Ср.квадратическое отклонение (сигма) будет означать насколько близко к пику сезона будет приходится его начало и конец и равно половине длительности сезона. Если сигма мала, то сезон короткий (график плотности вероятности будет выпуклым), если велика, то сезон длинный, вплоть до того, что сезоном можно считать весь год (график плотности вероятности будет приплюснутым).

market-1 писал(а):4. Сезонность по одному году в принципе считать некорректно. Вам нужно взять минимум три года и считать матожидание как средние продажи по месяцам. То есть берете продажи в январе за 2014-2016 годы. Например, они составили соответственно 1,2,3 штуки. Получили матожидание для января равное 2 с соответствующей дисперсией. И так же по остальным месяцам.

Я согласен с вами, что чем больше статистики, тем лучше. И мои данные были просто свернуты в 1 год. За каждым месяцем в моем примере стоят усредненные данные о продажах в аналогичные месяцы за последние 3 года.

market-1 писал(а):Ну о какой сезонности можно вести речь при единичных продажах, почти равномерно распределенных по году? Делаете запас в 1 шт. на складе (или 2 шт., чтобы уж наверняка) и будет вам счастье.

То есть тут вы просто отказываетесь от какого-либо анализа? Предлагаете тупо "привезти, чтобы было", без всякого обоснования. А позиция меж тем может быть не дешевой. И таких позиций может быть много и на большую сумму. Это мы уже проходили, хочется более обоснованного решения.
Если единичные продажи сконцентрированы в каком-либо периоде в течение года, это разве ни о чем не говорит? Если имеются единичные продажи, но только летом, а зимой их нет, неужели это ни о чем не говорит? Мне кажется, что человек тут сможет понять, что имеется некая сезонность. А как выявить эту сезонность автоматически? Искать месяц с максимальными продажами? Так они все единичные. Вот тут, мне кажется, как раз может помочь теория вероятностей. Посчитаем матожидание - выявим середину сезона с максимальными продажами. Посчитаем сигму - выявим половину длительности сезона. Если сигма велика, то сезон вырождается в целый год, тогда и будем держать всегда 1 шт в наличии, "шоб було".

Аватар пользователя
market-1
Гуру
Гуру
Сообщений: 765
Зарегистрирован: 02 май 2010 09:37
Имя: Илья
Фамилия: Константинов
Должность: Директор по маркетингу
Откуда: Москва

Re: Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение market-1 » 18 апр 2017 23:23

ВладимирМ писал(а):Возьмем формулу матожидания для дискретных значений:

Но посчитано оно у вас неверно, потому что для сезонного товара матожидание по данной вами формуле получается 1,86, а не 11,7. А для несезонного товара оно ровно 1, а не 7,3.

Но это получаются среднегодовые продажи за месяц. Зачем они вам при расчете сезонности? Считайте средние продажи по каждому месяцу.

Пересчитайте по правильной формуле, в том числе и дисперсию, а потом я отвечу вам на остальные вопросы на примере корректных значений.

ВладимирМ
Пользователь
Пользователь
Сообщений: 21
Зарегистрирован: 10 апр 2017 10:09
Имя: Владимир
Фамилия: Морозов
Должность: руководитель

Re: Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение ВладимирМ » 19 апр 2017 15:27

Я вижу, что вы не читаете мои сообщения. Уже не надеюсь, что будете вникать, но напишу, как я считаю матожидание - номер месяца умножаю на вероятность:

Для первого случая:
1 * 0
+ 2 * 0
+ 3 * 0
+ 4 * 0
+ 5 * 0
+ 6 * 0
+ 7 * 0
+ 8 * 0
+ 9 * 0
+ 10 * 0.13
+ 11 * 0.29
+ 12 * 0.29
+ 13 * 0.29
= 11.74

Для второго случая:
1 * 0
+ 2 * 0.17
+ 3 * 0
+ 4 * 0
+ 5 * 0.17
+ 6 * 0
+ 7 * 0.17
+ 8 * 0.17
+ 9 * 0
+ 10 * 0.17
+ 11 * 0
+ 12 * 0.17
= 7.48

Вообще, забудьте, что это номер месяца. Пусть это будет просто некоторое значение на шкале X, и каждому из этих значений X соответствует определенная вероятность.
Если это не дойдет, то продолжать дискуссию не вижу смысла.

Аватар пользователя
market-1
Гуру
Гуру
Сообщений: 765
Зарегистрирован: 02 май 2010 09:37
Имя: Илья
Фамилия: Константинов
Должность: Директор по маркетингу
Откуда: Москва

Re: Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение market-1 » 19 апр 2017 17:04

ВладимирМ писал(а): как я считаю матожидание - номер месяца умножаю на вероятность:
...и каждому из этих значений X соответствует определенная вероятность
Если это не дойдет, то продолжать дискуссию не вижу смысла.


1. А теперь сформулируйте мне, пожалуйста, смысл физической величины, которую вы рассчитываете таким образом.
2. И попробуйте посчитать это свое значение, если у вас будет все-таки не 13 месяцев, а 12, как у всех, и первым будет январь с продажами в 2 единицы (как вы и указали в начале обсуждения).

А я помогу:

1 * 0,29
+ 2 * 0
+ 3 * 0
+ 4 * 0
+ 5 * 0
+ 6 * 0
+ 7 * 0
+ 8 * 0
+ 9 * 0
+ 10 * 0.13
+ 11 * 0.29
+ 12 * 0.29
= 8,26

И попробуйте объяснить, что у вас получилось.
А потом уже будете ерепениться по поводу того, что вас не понимают и не ценят.

ВладимирМ
Пользователь
Пользователь
Сообщений: 21
Зарегистрирован: 10 апр 2017 10:09
Имя: Владимир
Фамилия: Морозов
Должность: руководитель

Re: Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение ВладимирМ » 19 апр 2017 17:46

market-1 писал(а):1. А теперь сформулируйте мне, пожалуйста, смысл физической величины, которую вы рассчитываете таким образом.

Выше я уже объяснял смысл физической величины - это временная шкала в месяцах. Цель - выявить временной момент максимальных продаж и его разброс по времени, т.е. сезон.

market-1 писал(а):2. И попробуйте посчитать это свое значение, если у вас будет все-таки не 13 месяцев, а 12, как у всех, и первым будет январь с продажами в 2 единицы (как вы и указали в начале обсуждения).

А я помогу:

1 * 0,29
+ 2 * 0
+ 3 * 0
+ 4 * 0
+ 5 * 0
+ 6 * 0
+ 7 * 0
+ 8 * 0
+ 9 * 0
+ 10 * 0.13
+ 11 * 0.29
+ 12 * 0.29
= 8,26

И попробуйте объяснить, что у вас получилось.

Я понял вашу иронию, но это меня не смущает. Проблема в том, что мы "скручиваем" временной отрезок последних лет продаж в "кольцо" одногодовой модели. В реальности же время не имеет никаких колец, оно последовательно. Верно? Это просто недостаток используемой нами модели одного года, в котором свернуты данные за прошлые года. Чтобы избавиться от этого недостатка, достаточно выбрать правильное начало отсчета и считать сезон относительно этого начала. Матожидание конечно будет уже относительно этого начала, а дисперсия не изменится. В этом примере мы можем начать отсчет с сентября, к примеру. Тогда первым месяцем будет сентябрь, вторым - октябрь, далее ноябрь, декабрь. Пятым будет январь. Таким образом сезон будет непрерывным, каким и должен быть. По этой причине я ставлю январь 13-м месяцем.

market-1 писал(а):А потом уже будете ерепениться по поводу того, что вас не понимают и не ценят.

То, чтобы ценили - это еще нужно заслужить. А вот не понимают - это точно. И я, кажется, знаю почему. Просто не читают. :wo_ol:

Аватар пользователя
market-1
Гуру
Гуру
Сообщений: 765
Зарегистрирован: 02 май 2010 09:37
Имя: Илья
Фамилия: Константинов
Должность: Директор по маркетингу
Откуда: Москва

Re: Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение market-1 » 19 апр 2017 18:45

ВладимирМ писал(а):В этом примере мы можем начать отсчет с сентября, к примеру.


Вы просто подгоняете свою модель под желаемый результат. Но как только у вас выскочат продажи в любой другой период, то вся модель поползет, и нужно будет опять вручную это отслеживать и подгонять начало отсчета. А если сезонность двугорбая (как у очень многих товаров с провалом в летние месяцы и на Новый год)? Что вы будете делать со своей моделью, которая заранее закладывает только один максимум? Куда будете сдвигать начало отсчета?
Достоинство нормальной модели в том, что она от этого начала отсчета не зависит.

И тем более, что такая модель никак не может быть применена к редким продажам, о которых вы говорили изначально. Потому что редкие продажи - это дискретные значения, а вы пытаетесь натянуть на них матожидание с дисперсией, которые представляют из себя колокольчик плавно меняющихся значений.

ВладимирМ писал(а):А вот не понимают - это точно. И я, кажется, знаю почему. Просто не читают.

Читают. Но я даже представить себе не мог, что вы при расчете сезонности рассчитываете матожидание не средних помесячных продаж, а некоего "номера месяца максимума продаж". Думал, что опечатались.

ВладимирМ
Пользователь
Пользователь
Сообщений: 21
Зарегистрирован: 10 апр 2017 10:09
Имя: Владимир
Фамилия: Морозов
Должность: руководитель

Re: Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение ВладимирМ » 19 апр 2017 20:58

market-1 писал(а):
ВладимирМ писал(а):В этом примере мы можем начать отсчет с сентября, к примеру.


Вы просто подгоняете свою модель под желаемый результат.

Это я попытался простыми словами пояснить принцип, каким образом можно избавиться от недостатка модели "свернутого года". И конечно же не собираюсь "подгонять модель под желаемый результат" по каждой позиции. Будет работать один и тот же алгоритм на все случаи редких продаж. Как тут можно подогнать его под все случаи жизни?

market-1 писал(а):Но как только у вас выскочат продажи в любой другой период, то вся модель поползет, и нужно будет опять вручную это отслеживать и подгонять начало отсчета. А если сезонность двугорбая (как у очень многих товаров с провалом в летние месяцы и на Новый год)? Что вы будете делать со своей моделью, которая заранее закладывает только один максимум? Куда будете сдвигать начало отсчета?
Достоинство нормальной модели в том, что она от этого начала отсчета не зависит.

Куда она может "поползти"? Я же не закладываю в нее заранее какие-то условия о каком-то конкретном периоде. Если сезонность двугорбая, как мне сегодня такой случай встретился, то матожидание угадывает примерно в середину между двуми горбами, а ср.квадратическое отклонение как раз становится почти полгода, что говорит о том, что ярко выраженный сезон отсутствует, нужно просто иметь 1 шт в наличии. Что в данном случае логично.

market-1 писал(а):И тем более, что такая модель никак не может быть применена к редким продажам, о которых вы говорили изначально. Потому что редкие продажи - это дискретные значения, а вы пытаетесь натянуть на них матожидание с дисперсией, которые представляют из себя колокольчик плавно меняющихся значений.

Ну так есть же формула для дискретных значений. Не вижу тут проблемы.

market-1 писал(а):Читают. Но я даже представить себе не мог, что вы при расчете сезонности рассчитываете матожидание не средних помесячных продаж, а некоего "номера месяца максимума продаж". Думал, что опечатались.

До меня это не сразу дошло. Сначала я думал как и вы. Потом понял, что X в формуле матожидания - это не обязательно штуки, а вообще все, что угодно, в том числе и время (минута, час, день и т.д.). Эту мысль я вынес из книги "Научное управление запасами", написанной еще в 60-е. Только там были недели, а не месяцы.

Аватар пользователя
market-1
Гуру
Гуру
Сообщений: 765
Зарегистрирован: 02 май 2010 09:37
Имя: Илья
Фамилия: Константинов
Должность: Директор по маркетингу
Откуда: Москва

Re: Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение market-1 » 19 апр 2017 22:37

ВладимирМ писал(а): Если сезонность двугорбая, как мне сегодня такой случай встретился, то матожидание угадывает примерно в середину между двуми горбами, а ср.квадратическое отклонение как раз становится почти полгода, что говорит о том, что ярко выраженный сезон отсутствует, нужно просто иметь 1 шт в наличии. Что в данном случае логично.

Вы меня, конечно, извините, но в такой ситуации на месте вашего начальника я бы посчитал логичным уволить вас. Ничего личного.

Просто вы уперлись в ошибочную модель и не желаете понять то, как работает сезонность, как ее считать, как ее потом использовать при формировании запасов. Поэтому рекомендую ни в коем случае не говорить то, что вы здесь говорили, своему начальству. А скачайте лучше какую-нибудь книжку по управлению закупками. Можете здесь почитать: http://scm-book.ru/node/6 (очень дельная информация от Stanley, одного из завсегдатаев форума).

ВладимирМ писал(а):Ну так есть же формула для дискретных значений. Не вижу тут проблемы.

Конечно не видите. Потому что для того, чтобы видеть, нужно понимать, как это работает. А вы не понимаете, что не любую математическую модель можно применять к управлению товарными запасами. Потому что математика гораздо шире, чем любая прикладная дисциплина, и нужно понимать пределы применимости тех или иных математических моделей.

ВладимирМ писал(а): Потом понял, что X в формуле матожидания - это не обязательно штуки, а вообще все, что угодно, в том числе и время (минута, час, день и т.д.). Эту мысль я вынес из книги "Научное управление запасами", написанной еще в 60-е. Только там были недели, а не месяцы.

В формуле это действительно может быть что угодно. На то это и математика. А вам я рекомендую еще раз перечитать ту книгу и разобраться, что имел в виду автор. Это точно не то, что вы здесь описали.

ВладимирМ
Пользователь
Пользователь
Сообщений: 21
Зарегистрирован: 10 апр 2017 10:09
Имя: Владимир
Фамилия: Морозов
Должность: руководитель

Re: Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение ВладимирМ » 21 апр 2017 11:24

Скажу честно, у меня наступило разочарование. Я поначалу почему-то считал этот ресурс площадкой общения профессионалов. Но здесь вместо обсуждения математической модели предпочитают обсуждать мои способности. Поэтому не вижу смысла продолжать тему дальше. Кратко подведу итог (длинные тексты все-равно никто не читает). Обсуждаемая выше модель является только частью системы заказов, предназначенная обрабатывать экстремальные случаи - редкие продажи. Ограничения для модели еще предстоит определить, но со своей основной целью, определением сезонности редких продаж, она, кажется, справляется удовлетворительно. Буду тестировать дальше.
Благодарю всех за внимание.

SAV
Профессионал
Профессионал
Сообщений: 363
Зарегистрирован: 14 июн 2011 18:56
Имя: Андрей
Фамилия: МММ
Должность: Менеджер

Re: Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение SAV » 21 апр 2017 14:10

Владимир, просто Ваш метод расчета сезонности ни коим образом не коррелирует с классическим.
Вполне возможно он имеет право на жизнь.
Но разбираться в его особенностях честно говоря совершенно не хочется по той простой причине, что старый вполне прилично работает.
Если бы у Вас были вопросы по нему - скорее всего Вы получили бы исчерпывающие ответы.
А использовать матожидания при расчете сезонности лично я считаю в корне неверным, потому и не отвечаю.

Аватар пользователя
market-1
Гуру
Гуру
Сообщений: 765
Зарегистрирован: 02 май 2010 09:37
Имя: Илья
Фамилия: Константинов
Должность: Директор по маркетингу
Откуда: Москва

Re: Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение market-1 » 21 апр 2017 16:13

SAV писал(а):Вполне возможно он имеет право на жизнь.
Но разбираться в его особенностях честно говоря совершенно не хочется

Да что там разбираться? Совершенно стандартная формула, но примененная без понимания того, что мы получим в итоге.

Чтобы понятно было, что мы получаем в соответствии с этой формулой, я набросал графики.
Верхний. Это та аппроксимация фактических продаж, которую предлагается использовать для формирования запасов в приведенном Владимиром примере. Как вам "точность" модели?

Нижний. Я спросил, что он будет делать, если сезонность будет "двугорбой". Он сказал, что максимум продаж летом и дисперсия в полгода, которые дает формула - это нормально. Я это проиллюстрировал. И как, на ваш взгляд, это нормально?
Вот поэтому я и сказал, что на месте начальства уволил бы такого сотрудника.

Поэтому вот эти слова:
ВладимирМ писал(а):Скажу честно, у меня наступило разочарование. Я поначалу почему-то считал этот ресурс площадкой общения профессионалов. Но здесь вместо обсуждения математической модели предпочитают обсуждать мои способности.
считаю совершенно необоснованными.

Если честно, то от такого невежества мне, человеку, прошедшему еще советскую школу и закончившему один из лучших физмат ВУЗов страны, до сих пор очень тяжело удерживаться от резких слов. Теперь я понимаю, как низко упало у нас образование. Грустно...

Причем меня удивляет не само незнание чего-то. Это нормально. Гораздо хуже эта упертость и желание не учиться и не спрашивать, а прийти сюда, чтобы добиться одобрения. Помню, как один мой знакомый убеждал меня с пеной у рта, что вечный двигатель можно создать, и что у него даже есть чертеж. Он смотрел на мои возражения примерно так же как сейчас Владимир: как на душителя прогрессивной мысли.
У вас нет необходимых прав для просмотра вложений в этом сообщении.

ВладимирМ
Пользователь
Пользователь
Сообщений: 21
Зарегистрирован: 10 апр 2017 10:09
Имя: Владимир
Фамилия: Морозов
Должность: руководитель

Re: Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение ВладимирМ » 21 апр 2017 17:53

Странно видеть, как гордый носитель советского образования (можно подумать, что единственный в стране) не разобрался в простой в общем вещи, а затем просто все извратил, вместо того, чтобы задать уточняющие вопросы там, где что-то неясно. Может корона на голове жмет?

Сейчас посмотрим, где именно извратил.
market-1 писал(а):Верхний. Это та аппроксимация фактических продаж, которую предлагается использовать для формирования запасов в приведенном Владимиром примере. Как вам "точность" модели?

То что там у вас синим цветом - это исходные данные. И они НЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ В РАСЧЕТЕ СРАЗУ, ОНИ СНАЧАЛА ОБРАБАТЫВАЮТСЯ. Пишу прописными, т.к. вы не читаете внимательно то, что я пишу.
Если до обработки график плотности вероятности выглядит так:
График1.jpg

То после обработки уже так:
График2.jpg

Уже похоже на нормальное распределение, верно? Красным цветом - это выравненный методом скользящей средней график плотности вероятности.
Затем мы находим первый минимум плотности вероятности продаж и с него начинаем отсчет. В нашем случае это 4-й месяц. Январь становится КАК БЫ 13-м месяцем. Самое главное, график плотности вероятности уже становится похож на нормальное распределение и параметры (матожидание и ср.квадратическое отклонение) считаются правильно, но матожидание больше, чем должно быть на эту поправку (4 месяца). Вычитаем из матожидания 4 месяца и получаем правильное значение.
Самое главное - имеем вычисленное сигма (ср.квадратическое отклонение), чтобы оценить длительность сезона и матожидание - его середину.
То, что там у вас в первом графике нарисовано красным цветом - это не имеет ко мне никакого отношения. Точнее я говорил сразу, что это не правильно.

Далее.
market-1 писал(а):Нижний. Я спросил, что он будет делать, если сезонность будет "двугорбой". Он сказал, что максимум продаж летом и дисперсия в полгода, которые дает формула - это нормально. Я это проиллюстрировал. И как, на ваш взгляд, это нормально?

То, что в вашем втором графике нарисовано красным цветом - это ваши личные фантазии. Да, матожидание находится между этими двумя горбами, но это не означает, что вероятность продаж в этом месте будет высокая, как вы изображаете. Это означает, что в этом месте находится середина плотности вероятности, с обоих сторон которой суммарные вероятности имеют одинаковый "вес". Именно в этом месте вероятность может быть не большая. О "кучности" вероятности в этом месте говорит другой параметр - дисперсия или ср.квадратическое отклонение. Второе нам удобнее, т.к. выражается тоже в месяцах. Для двугорбого графика дисперсия (разброс) получается большая, что просто говорит о том, плотность вероятности "размазана" по всему графику и нет ярко выраженного сезона, что соответствует действительности.

Видно вы плохо учили теорию вероятностей в вашем "лучшем физмат ВУЗе страны". В любом случае эта простая модель лучше, чем то, что вы мне предложили вначале: "Делаете запас в 1 шт. на складе (или 2 шт., чтобы уж наверняка) и будет вам счастье". Эта хотя бы позволяет отсортировать разные ситуации по параметрам, чтобы потом более внимательно их анализировать.
У вас нет необходимых прав для просмотра вложений в этом сообщении.

Аватар пользователя
market-1
Гуру
Гуру
Сообщений: 765
Зарегистрирован: 02 май 2010 09:37
Имя: Илья
Фамилия: Константинов
Должность: Директор по маркетингу
Откуда: Москва

Re: Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение market-1 » 21 апр 2017 21:05

Мне кажется, я понял, почему вы через пост жалуетесь, что вас не читают. Просто вы формулируете свои мысли так, что только половина попадает на клавиатуру, а остальная половина остается в голове. Попробуем вытащить вторую половину наводящими вопросами.

На графиках вы представили цифры, которые нигде выше не фигурировали. Плюс на графиках они не подписаны. Поэтому вопросы:
1. Плотность вероятности какой величины вы считаете?
2. По какой формуле она считается из исходных данных?

ВладимирМ писал(а):Да, матожидание находится между этими двумя горбами, но это не означает, что вероятность продаж в этом месте будет высокая, как вы изображаете. Это означает, что в этом месте находится середина плотности вероятности,... Именно в этом месте вероятность может быть не большая.

Вообще-то это не я изображаю, а матожидание и дисперсия согласно вашим же моделям (просто я изобразил схематично, так как времени было немного). А теперь вопрос:
3. Как это соотносится с вашим утверждением, с которого вы начали ветку:
ВладимирМ писал(а):Вычислить матожидание (месяц, когда вероятность продать максимальная)
То есть вы сразу заявили, что матожидание рассчитанной вами величины соответствует максимальной вероятности продаж.

4. Для наглядности модели предлагаю вам построить графики "вероятности продажи" (согласно вашей же терминологии) для следующих двух простейших примеров редких продаж:

Месяцы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Товар 1: 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0
Товар 2: 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

А на основании построенных графиков мы все вместе постараемся разобрать плюсы и минусы предлагаемой вами модели.

ВладимирМ
Пользователь
Пользователь
Сообщений: 21
Зарегистрирован: 10 апр 2017 10:09
Имя: Владимир
Фамилия: Морозов
Должность: руководитель

Re: Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение ВладимирМ » 22 апр 2017 07:34

Ну вот, хоть какой-то конструктив...

market-1 писал(а):Мне кажется, я понял, почему вы через пост жалуетесь, что вас не читают. Просто вы формулируете свои мысли так, что только половина попадает на клавиатуру, а остальная половина остается в голове. Попробуем вытащить вторую половину наводящими вопросами.

Да, возможно только половина моих мыслей попадает на клавиатуру, но у кого не так? И что мешало сразу задать наводящие вопросы, а не заниматься развешиванием ярлыков? Вы же считаете себя профессионалом,верно?

market-1 писал(а):На графиках вы представили цифры, которые нигде выше не фигурировали. Плюс на графиках они не подписаны. Поэтому вопросы:
1. Плотность вероятности какой величины вы считаете?
2. По какой формуле она считается из исходных данных?

На моих графиках на оси X отображается время в месяцах с начала года. По оси Y - вероятность продажи.
Ответы на ваши вопросы:
1. Я считаю вероятность продажи товара в конкретные месяцы года исходя из имеющихся скудных данных о прошлых продажах. По мере увеличения объема этих данных, модель, естественно, становится точнее. Плотность вероятности - это просто график распределения этой вероятности по времени (месяцам). Плотность вероятности всегда повторяет график продаж, т.к. из них расчитывается.
2. Вероятность считается по простой формуле:
Изображение, где
n - количество продаж в каком-то конкретном месяце;
N - количество продаж за все время наблюдения.
Сумма вероятностей, естественно, должна быть равна 1.

market-1 писал(а):
ВладимирМ писал(а):Да, матожидание находится между этими двумя горбами, но это не означает, что вероятность продаж в этом месте будет высокая, как вы изображаете. Это означает, что в этом месте находится середина плотности вероятности,... Именно в этом месте вероятность может быть не большая.

Вообще-то это не я изображаю, а матожидание и дисперсия согласно вашим же моделям (просто я изобразил схематично, так как времени было немного). А теперь вопрос:
3. Как это соотносится с вашим утверждением, с которого вы начали ветку:
ВладимирМ писал(а):Вычислить матожидание (месяц, когда вероятность продать максимальная)
То есть вы сразу заявили, что матожидание рассчитанной вами величины соответствует максимальной вероятности продаж.

Мои слова относились к случаю с нормальным распределением (один максимум продаж в одном сезоне в году). Вы же пытаетесь натянуть мои слова на "двугорбый" случай. И вообще, матожидание - это не максимальная вероятность продаж, это вообще не вероятность. Это точка на оси X, являющаяся "серединой" продаж, в случае нормального распределения (обычный сезон, не "двугорбый" случай) она совпадает с максимумом продаж.

market-1 писал(а):4. Для наглядности модели предлагаю вам построить графики "вероятности продажи" (согласно вашей же терминологии) для следующих двух простейших примеров редких продаж:

Месяцы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Товар 1: 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0
Товар 2: 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Для товара 1 график будет такой:
Товар1.jpg

Красным цветом - выравненный методом скользящей средней график вероятности. Такое выравнивание, думаю, желательно, т.к. вероятность - это вещь приблизительная, продажа может произойти чуть раньше или чуть позже сезона, если он есть.
Матожидание расчитывается по формуле:
Изображение
И составляет в нашем случае (по выравненным данным):
1 * 0,00
+ 2 * 0,08
+ 3 * 0,17
+ 4 * 0,17
+ 5 * 0,08
+ 6 * 0,00
+ 7 * 0,00
+ 8 * 0,08
+ 9 * 0,17
+ 10 * 0,17
+ 11 * 0,08
+ 12 * 0,00
-------------
Итого: 6,50
Тут нужно правильно интерпретировать результат, т.к. подразумевается, что данные о продажах приходятся на середину месяца, т.е. смещены на 0.5 месяца ранее, чем это отражено на графике и используется в расчетах. Практически это будет означать, что середина продаж приходится на конец июня - начало июля (6.5 - 0.5 = 6).
Дисперсия расчитывается по формуле:
Изображение, где
Xi - месяцы;
M[X] - матожидание, которое мы получили выше;
и составляет в нашем случае 9,25. Среднеквадратическое отклонение - это квадратный корень из дисперсии - равно у нас 3,04. Практически - это "середина" отклонения (матожидание квадрата отклонения), т.е. получается, что продажи "размазаны" от средней точки на полгода вперед и назад.

Для товара2 график будет такой:
Товар2.jpg

Матожидание для него равно 6,28. Среднеквадратическое отклонение - 3,49.

В своей модели я принял, что если среднеквадратическое отклонение больше 3, то явного сезона нет, и тогда просто нужно держать в наличии 1 шт (комплект). Все это для случая, когда среднее количество продаж в год не большое (у меня от 1 до 12 единиц).

Теперь покажите вариант решения на основе "обычной" модели.

market-1 писал(а):А на основании построенных графиков мы все вместе постараемся разобрать плюсы и минусы предлагаемой вами модели.

Буда благодарен, если поможете разобрать.
У вас нет необходимых прав для просмотра вложений в этом сообщении.

Аватар пользователя
market-1
Гуру
Гуру
Сообщений: 765
Зарегистрирован: 02 май 2010 09:37
Имя: Илья
Фамилия: Константинов
Должность: Директор по маркетингу
Откуда: Москва

Re: Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение market-1 » 22 апр 2017 08:40

Пока на графиках был не анализ, а отнормированные на "1" продажи, дополнительно сглаженные скользящим средним.
А теперь попробуем разобраться в вашей модели и понять, как в данном случае работают матожидание и среднеквадратичное отклонение.

В соответствии с вашей теорией:
ВладимирМ писал(а):2. Вычислить матожидание (месяц, когда вероятность продать максимальная) и среднеквадратическое отклонение (в какие вообще месяцы до и после реально продать).

Наложите графики матожидания с рассчитанным среднеквадратичным отклонением на графики вашей плотности вероятности продажи для двух предложенных мной случаев.

ВладимирМ
Пользователь
Пользователь
Сообщений: 21
Зарегистрирован: 10 апр 2017 10:09
Имя: Владимир
Фамилия: Морозов
Должность: руководитель

Re: Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение ВладимирМ » 22 апр 2017 09:38

market-1 писал(а):Наложите графики матожидания с рассчитанным среднеквадратичным отклонением на графики вашей плотности вероятности продажи для двух предложенных мной случаев.

Вижу, что действительно, с теорией у вас плохо. На статус "гуру" в теории вероятностей вы явно не тянете.
Не бывает графиков матожидания. Матожидание - это число той же размерности, что и шкала X. Если я его наложу на график - будет просто вертикальная черта в точке X равной матожиданию, примерно в середине предложенных графиков. Среднеквадратическое отклонение - это тоже число такой же размерности. Нет большого смысла в этих графиках. Ну это примерно то же самое, что если я просто скажу, что максимум продаж ожидается тогда-то (матожидание при нормальном распределении), плюс-минус пару месяцев (среднеквадратическое отклонение). Нам важны просто эти два числа для того, чтобы отсортировать все подобные случаи и выбрать подходящее решение для каждого из них.

ВладимирМ
Пользователь
Пользователь
Сообщений: 21
Зарегистрирован: 10 апр 2017 10:09
Имя: Владимир
Фамилия: Морозов
Должность: руководитель

Re: Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение ВладимирМ » 22 апр 2017 09:43

Для прогноза же продаж нам нужна будет цифра, сколько продавалось в год этой позиции в прошлом. И нужна будет вычисленная таблица вероятностей по месяцам. Прогноз продаж на конкретные месяцы мы получим, когда перемножим первую цифру на сумму вероятностей нужных нам месяцев.

Аватар пользователя
market-1
Гуру
Гуру
Сообщений: 765
Зарегистрирован: 02 май 2010 09:37
Имя: Илья
Фамилия: Константинов
Должность: Директор по маркетингу
Откуда: Москва

Re: Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение market-1 » 22 апр 2017 10:27

ВладимирМ писал(а):Не бывает графиков матожидания. Матожидание - это число той же размерности, что и шкала X. Если я его наложу на график - будет просто вертикальная черта в точке X равной матожиданию, примерно в середине предложенных графиков. Среднеквадратическое отклонение - это тоже число такой же размерности. Нет большого смысла в этих графиках.

Возможно, что я несколько неакадемично выражаюсь, потому что привык к такой терминологии (да и изучал эту терминологию очень давно, уж простите). Но это не отменяет главного, о чем я говорил ранее. Вы действительно не до конца понимаете физического и графического смысла тех величин, которыми оперируете.

Поэтому позволю себе некоторый ликбез.
Ниже привожу график плотности вероятности (термин, которым вы постоянно оперируете) нормального распределения, из которого собственно и берется определение среднеквадратичного отклонения (которым вы тоже постоянно оперируете). На графике формулы переведены в графическое их отображение и иллюстрируют те термины, которые вы используете:
- плотность вероятности (график ее распределения)
- матожидание (среднее значение, где плотность вероятности максимальна)
- дисперсия (рассеяние плотности вероятности).

Более подробно посмотрите хоть в Вики: https://ru.wikipedia.org/wiki/Среднеква ... отклонение (там и аналогичный график есть)
Если захотите более серьезные источники, то могу порекомендовать.

И вы предлагаете именно таким графиком аппроксимировать те редкие продажи, которые анализируете, предлагая подходить к ним в терминологии матожидания и среднеквадратичного отклонения, рассчитанного по вашей методологии.

Теперь возвращаюсь к своей просьбе: наложите эти графики (с рассчитанными вами параметрами матожидания и отклонения) на графики вашей плотности вероятности продажи для двух предложенных мной случаев.
У вас нет необходимых прав для просмотра вложений в этом сообщении.

ВладимирМ
Пользователь
Пользователь
Сообщений: 21
Зарегистрирован: 10 апр 2017 10:09
Имя: Владимир
Фамилия: Морозов
Должность: руководитель

Re: Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение ВладимирМ » 22 апр 2017 13:43

market-1 писал(а):Возможно, что я несколько неакадемично выражаюсь, потому что привык к такой терминологии (да и изучал эту терминологию очень давно, уж простите).

Открою секрет: я тоже изучал математику очень давно, и тоже получил еще советское образование в одном из лучших технических ВУЗов. Так что про деградацию современного образования - это мимо кассы. И т.к. мы находимся в математическом разделе форума, попрошу точнее выражать математические термины.

market-1 писал(а):Вы действительно не до конца понимаете физического и графического смысла тех величин, которыми оперируете.

Так поясните мне, наконец, тайный физический и графический смысл этих величин.


Про ликбез опустим... Кажется он вам больше пошел на пользу...


market-1 писал(а):И вы предлагаете именно таким графиком аппроксимировать те редкие продажи, которые анализируете, предлагая подходить к ним в терминологии матожидания и среднеквадратичного отклонения, рассчитанного по вашей методологии.

Теперь я кажется начинаю понимать, что вы тут не видите привычный "колоколообразный" график плотности распределения.
Но во-первых, слово "нормальный" я использую в качестве "противовеса" вашему "двугорбому" случаю и моему изначальному необработанному виду данных (два разорванных куска в начале и конце года). Это, разумеется, не имеет точного математического смысла распределения Гаусса.
Во-вторых, если бы продаж во время обычного сезона было бы много, тогда график был бы не таким ступенчатым, а приблизился бы к привычному гладкому "колоколообразному" виду.
Думаю, вы не будете говорить, что подобные графики, которые я сейчас найду в Интернете, не правильные или не соответствуют нормальному закону. Типа таких:
Изображение
Изображение
Изображение

Вся проблема в том, что исходных данных действительно мало. Но это не означает, что их нельзя интерпретировать с точки зрения теории вероятностей.

Что-то мне уже надоедает толочь воду в ступе. Где обещанный разбор плюсов и минусов сабжевой модели?

Аватар пользователя
market-1
Гуру
Гуру
Сообщений: 765
Зарегистрирован: 02 май 2010 09:37
Имя: Илья
Фамилия: Константинов
Должность: Директор по маркетингу
Откуда: Москва

Re: Как определить сезонность редкопродаваемого товара?

Сообщение market-1 » 22 апр 2017 13:55

ВладимирМ писал(а):Так поясните мне, наконец, тайный физический и графический смысл этих величин.

Так я вам и пояснил физический смысл модели, основанной на матожидании и среднеквадратичном отклонении. Если вы ими пользуетесь, то ваша модель может иметь только одно распределение плотности вероятности - нормальное, то есть симметричный колокол.

ВладимирМ писал(а):Что-то мне уже надоедает толочь воду в ступе. Где обещанный разбор плюсов и минусов сабжевой модели?

Вот вы примените "сабжевую модель" к двум примерам редких продаж (постройте график распределения плотности вероятности с вашими параметрами матожидания и среднеквадратичного отклонения), и тогда я все разберу.


Вернуться в «Математика закупки»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: CommonCrawl [Bot] и 0 гостей